\embed{definition}{&nbsp;}\exercise{cmd=new&module=U1/algebra/oeflinapp.fr&exo=baseimage}{L'exercice}
<pre class = "cc">
\title\lbrac Base de l'image \rbrac
\language\lbrac fr \rbrac
\author\lbrac Marie-Claude David \rbrac
\email\lbrac mcld@math.u-psud.fr \rbrac
\computeanswer\lbrac no \rbrac
\format\lbrac html \rbrac
\precision\lbrac 10000 \rbrac
\integer\lbrac n = 4 \rbrac
\integer\lbrac b = \randint(1<tt class="w">..</tt>3) \rbrac
\matrix\lbrac B = \slib(matrix/givenrank \\n,\\n,\\b,4) \rbrac </pre>
<div class = "aide">On avait besoin d'une matrice de rang donn.
On a utilis pour cela un script tout fait</div><pre class = "cc">
\statement\lbrac Soient &#92;((e_1,e_2,e_3,e_4) \\) une base de &#92;( \\RR^ \\n)
</pre><div class = "aide">Au passage, \\RR permet d'avoir le 
R des rels.
Il y en a d'autres comme \\NN, \\ZZ ainsi que les lettres grecques</div>
<pre class = "cc">
   et &#92;(f ) l'endomorphisme de &#92;(\\RR^\\n) dont la matrice
   dans la base &#92;((e_1,e_2,e_3,e_4))est 
   &lt;center&gt; &#92;([ \\B])&lt;/center> 
   &lt;p>
   Donnez une base de l'image de &#92;( f). 
  &lt;hr>
  &lt;p&gt; Entrez les composantes des vecteurs de la base de l'image  
   en colonne.
  &lt;/p> \rbrac
\answer\lbrac Votre rponse \rbrac\lbrac \\rep \rbrac\lbrac <tt class="type">type = matrix</tt> \rbrac </pre><div class = "aide">\\rep n'a pas t dfini avant. Il prendra
la valeur de la rponse envoye. </div><pre class = "cc">
\hint\lbrac Les images des vecteurs &#92;(e_1,e_2,e_3) et &#92;(e_4)   
   forment une famille gnratrice de l'image. \rbrac
\feedback\lbrac 1 = 1 \rbrac\lbrac Les vecteurs que vous avez donns sont &#92;([&#92;reply1]) \rbrac </pre> 
<div class="aide">Un feedback qui a lieu quelque soit la rponse.
Ici, ce n'est pas vraiment un feedback mais
plutt un moyen de pallier
au fait que la rponse automatique de la matrice
n'est pas vraiment lisible</div><pre class="cc">
\matrix\lbrac reply1 = \\reply1 \rbrac </pre><div class ="aide">On peut utiliser ici soit \\rep soit \\reply1.
Dans le cas o &#92;rep est dfini avant, seul &#92;reply1 est correct
pour dsigner la rponse envoye. </div><pre class = "cc">
\text\lbrac aC = \pari(C = concat([\\B],Mat([&#92;reply1]));
   [C,matrank(C),matrank(Mat([&#92;reply1]))]) \rbrac </pre><div class = "aide">Utilisation du logiciel GP/pari. 
</div><pre class = "cc">
\text\lbrac C = \item(1,\\aC) \rbrac
\text\lbrac a = \item(2,\\aC) \rbrac
\text\lbrac c = \item(3,\\aC) \rbrac
\matrix\lbrac R = \pari(print(Mat([&#92;reply1]~))) \rbrac
\text\lbrac m = \rows( \\R) \rbrac </pre>
<div class = "aide">Quelques calculs supplmentaires sont faits ici
utilisant les rponses envoyes. </div><pre class = "cc">
\condition\lbrac Les vecteurs que vous avez donns appartiennent tous   l'image \rbrac 
    \lbrac \\a = \\b \rbrac
\condition\lbrac Les vecteurs que vous avez donns sont linairement indpendants \rbrac 
    \lbrac \\m = \\c \rbrac
\condition\lbrac Les vecteurs que vous avez donns forment une base de l'image \rbrac 
    \lbrac \\a = \\b <tt class="op">and</tt> \\c = \\b <tt class="op">and</tt> \\m = \\c \rbrac </pre>
 <div class = "aide">On a test les vecteurs qui ont t donns
car il n'y a pas une seule rponse.
Pour chaque condition teste, on a prcis ce qui tait vrifi.
C'est important pour l'lve. </div><pre class = "cc">
</pre><div class = "aide">Dans le test des conditions, on peut utiliser
des oprateurs logiques : <tt class="op">and</tt> et <tt class="op">or</tt> en particulier </div><pre class = "cc">
\matrix\lbrac D = \pari(matimage(Mat([&#92;B]))) \rbrac </pre>
<div class = "aide">Utilisation du logiciel GP/pari. </div><pre class = "cc">
\feedback\lbrac \\a &lt;> \\b <tt class="op">or</tt> \\c &lt;>\\b <tt class="op">or</tt> \\m &lt;> \\c \rbrac\lbrac 
     Le rang de &#92;(f) est \\b. Une base de l'image 
     est &#92;([\\D]) \rbrac </pre>
     <div class = "aide">Un vrai feedback </div><pre class = "cc">
</pre>
\exercise{cmd=new&module=U1/algebra/oeflinapp.fr&exo=baseimage}{L'exercice}
